1  関数

1.1 関数とは何か?

1.1.1 関数とは何か、おおよその話

1.1.2 例: 自由落下粒子の高さと時間の関係,

1.1.3 線形関係,

1.1.4 データの表で与えられた関数,

1.1.5 関数表, （この2節はイリノイ大Uhl教授の材料を使っている)

1.1.6 関数の定義域と値域

1.2 初等関数: おおよその復習

1.2.1 初等関数: 単項式,

1.2.2 初等関数: 三角関数,

1.2.3 初等関数: 指数および対数関数

1.3 写像としての関数

1.3.1 写像としての関数: まとめ,

1.3.2 関数とは何か、簡単な歴史 NOTYET

1.3.3 値の跳び、尖点

1.4 関数の並進と反射

1.4.1 関数の並進,

1.4.2 鏡映,

1.4.3 例: バッハ、フーガの技法 BWV 1080  NOTYET

1.5 スケーリングと自己相似性

1.5.1 関数のスケーリング, 同次関数,

1.5.2 自己相似な関数, フラクタル曲線,

1.5.3 ブラウン運動（ウィーナー過程）NOTYET

1.6 逆関数  --  y = x に沿った折り返し

1.7 周期関数

1.8 関数の合成

1.9 関数の四則演算

「関数」これだけは

(1) 関数とは何かはっきり理解すること 。

(2) 初等関数は直感的に理解しておくこと (たとえば、代表的な関数：三角関数、多項式、指数および対数関数、双曲線関数のグラフをスケッチできること )。

(3) ある関数の表式が与えられたとき、その関数をある座標軸に沿って 並進 や 鏡映 した結果をもとの関数の表式を使って書けること。

(4)  x-  あるいは y -軸の方向に関数を拡大または縮小する（スケールする）ことは式ではどう表現するか言えること。

(5) どのようなとき 逆関数 は定義できるか？ 幾何学的に理解すること。

重要事項

関数  (変数, 定義域, 値域),  進行波 ,  位相のずれ (すすみとおくれ),  並進 ,  鏡映 ,  逆関数 ,  周期関数, 関数の  合成 

2 多項式

2.1 多項式の定性的性質

2.1.1 単項式と多項式: 定義,

2.1.2 単項式の定性的性質, 

2.1.3 多項式の定性的性質, 

2.1.4 最高次の項が多項式の大域的性質を決める, 

2.1.5 ランダウの O

2.2 多項式の曲線への当てはめ

2.2.1 直感的なワイエルシュトラスの定理 

2.2.2 ベルンシュタインの多項式

2.3 多項式の導関数

2.3.1 多項式の増加率, 

2.3.2 増加率の表現, 

2.3.3 増加率の線形性, 

2.3.4 単項式の導関数,

2.3.5 二項定理と単項式の導関数の別の計算法,

2.3.6 組み合わせ理論のいろは, 

2.3.7 ランダウのo, 

2.3.8 多項式の導関数

2.4 有理関数

2.4.1 有理関数: 定義, 

2.4.2 極 --- 爆発, 

2.4.3 有理関数の大域的挙動

「多項式」これだけは

(1) 単項式と多項式のグラフを スケッチ できなくてはならない。.

(2) 単項式 xn と xm とでは、n < m のとき、どっちが大きいか？　多項式の次数の 意義 を 理解すること。

(3) 微分するということは接線の傾きを計算することである。多項式を微分 できること (ここで計算力を確認すること)。公式は記憶しよう。

(4) 線形性とは何か？

(5) ランダウの o をどう 使うか練習すること。

(6) 連続関数は多項式でいくらでも精密に近似することができる。

(7)有理関数の漸近的性質が 言えること。

重要事項

単項式, 多項式 (次数), 線形結合, 線形演算,  ランダウのO, ランダウのo, 多項式近似 (Weierstrassの定理), 二項定理, 有理関数, 極

3 べき関数

3.1 冪関数の初歩のまとめ

3.2 一般の冪関数の構成

3.3 冪関数の導関数  (有理冪の場合)

3.4 有理数と無理数

3.4.1 有理数,  

3.4.2 有理数でない数がある --- ギリシア人は驚いた

3.4.3 無理数,

3.4.4 有理数は整数と「同じくらい」ある

3.4.5  無理数と有理数とどっちが多いか?

3.4.6 無理数の方が有理数よりはるかに多い,

3.4.7 有理数は密にある

「べき関数」これだけは

(1)  初等的な計算は手で 確実にできるようになること。

(2) 冪(べき)関数のグラフを代表的な冪について スケッチできること。

(3) 単項式を出発点にして一般的な冪関数がどのように 定義されていくか理解することが望ましい。

(4) 1/(1 + x) = 1 - x + o[x] を理解しよう 。

(5)  冪関数が微分できるようになること。

(6) 有理数、無理数がどんなものか説明できるようになること。

[(7) 無理数は非可算であり、有理数は可算だが稠密に存在することを理解すること。]

重要事項

冪関数, 有理数, 無理数, [稠密性, 可算, 非可算, 対角線論法 ]

4 連続関数

        ---直感的アプローチ

4.1 連続性

4.1.1 グラフの拡大 --- 関数の局所的性質,

4.1.2  連続関数 --- 直感的特徴づけ,

4.1.3  連続関数 --- もっと精密な特徴づけのアイデア,

4.1.4  ある点での連続性 --- 定義

4.2 中間値の定理

4.3 極大と極小

4.4 凸性

4.4.1 凸関数,

4.4.2 凸関数は連続である

4.5 連続曲線はいつも始末がいいと思ったら大間違い

「連続関数」これだけは

(1)  epsilonとδを使って連続性を正確に 記述できなくてはならない。特に、君の友人にこのアイデアを説明できなくてはならない。

(2)  連続性からどんなことが結論されるか言えること（中間値の定理、最大値の定理）。

(3)  凸関数とはなんだろうか？

重要事項

連続性, 中間値の定理,  極大、最大, 極小, 凸性, イェンゼンの不等式  

5 指数および対数関数

5.1 指数関数

5.1.1 指数関数の定義,

5.1.2 指数関数の定性的性質,

5.1.3 指数関数の関数関係、まとめ

5.2 指数的な増加と減少

5.2.1 指数関数のスケーリング,

5.2.2 指数的な増加と減少：例

5.3 対数

5.3.1 対数：指数関数の逆関数 

5.3.2 対数関数の性質

5.3.3 対数関数の底のとりかえ

5.4 e

5.4.1 小さな変数の場合

5.4.2 数 e がなくてはならない

5.4.3 自然対数

5.5 指数関数と対数関数の導関数

5.5.1  exの導関数

5.5.2 対数関数の導関数

「指数および対数関数」これだけは

(1)  いろいろな a の値について指数関数 ax のグラフをスケッチできなくてはならない。

(2) 指数関数的な増加と減少のようすのはっきりしたイメージを持つこと。

(3)  まったく問題なく対数の底を取替えられなくてはならない。

(4) log102 と log103 は憶えておくと便利だ（ここを見よ）。

(5)  e と自然対数の意義を説明できなくてはいけない。

(6) 指数関数と対数関数を微分できなくてはならない。結果の式は憶えておくこと。

(7) 極限 lim (1+ x/n)n = ex が説明できること。この結果は憶えておくこと。

(8)  ex = 1 + x + o[x] および log(1 + x) = x + o[x] を理解すること。この結果は憶えておくこと。

重要事項

指数関数, 指数的増加 (減衰), 半減期, 対数, e, 自然 対数

6 三角関数

6.1 三角関数

6.1.1 ラジアン

6.1.2 正弦 sin と 余弦 cos

6.1.3 加法公式とドモアブルの公式

6.1.4 正接 tan

6.1.5 三角関数の逆数

6.2 三角関数の導関数

6.3 オイラーの公式 (直感的に)

6.3.1 複素数の復習,

6.3.2 オイラーの公式,

6.3.3 オイラーの公式を使う微分

6.4 逆三角関数

6.4.1 逆正弦関数 = Arcsin,

6.4.2 逆正弦関数の導関数,

6.4.3 逆余弦関数 = Arccos,

6.4.5 逆正接関数 = Arctan,

6.4.6 逆正接関数の導関数, 

6.47 他の逆三角関数

「三角関数」これだけは

(1) 三角関数、特にsin とcos の 定義を憶えておくこと。sin, cos, tan, sec および cosec のグラフのスケッチができなくてはいけない。

(2) ついで、これらの関数の代表的な値（ここを見よう）を憶えておくこと。sin とcos との 実用的な関係に親しんでおくこと。

(3) 加法公式を座標の回転からどうやって導くか理解すること。

(4) 三角関数を微分できるだけでなく、それらの結果がどうして正しいか説明できること（ sin θ > θ,  cos θ > 1を理解すること）。ついで sin, cos とtan の導関数を憶えておくこと。

(5) ド・モアブルの公式とオイラーの公式の関係を理解すること。ついでオイラーの公式を憶えておくこと。三角関数を複素指数関数を使って書けること。

重要事項

ラジアン, cos, sin, tan, 回転, 加法公式, ド・モアブルの公式, 倍角の公式, 半角の公式, sec, cosec, cot, オイラーの公式,  複素指数関数, Arcsin, Arccos,  Arctan, 

7 双曲関数

7.1 双曲関数

7.1.1 Sinh とcosh,

7.1.2 加法公式,

7.1.3 tanh, 

7.1.4 双曲関数の逆数

7.2 双曲関数の導関数

7.3 逆双曲関数

7.3.1  sinh の逆関数 = sinh-1 = Arcsinh,

7.3.2  sinh-1の導関数,

7.3.3  tanh の逆関数 = tanh-1 = arctan,

7.3.4  arctanh の導関数,

7.3.5 ほかの逆双曲関数

「双曲関数」これだけは

(1) sinh, cosh と tanh の e±xを使った定義の式を 記憶すること。これらのグラフをスケッチできなくてはならない。

(2)  三角関数との関係を理解すること。cosh ix = cos x とsinh ix = i sin x を憶えておくと都合がいい。 加法定理などの公式を三角関数についての公式から容易に導くことができる。

(3) 双曲関数の微分ができること。公式がどうして正しいか説明できなくてはならない。その後で公式は憶えておくこと。

(4) 逆双曲関数は指数関数と対数関数を使って書けることを知っておくこと。

重要事項

sinh, cosh, tanh, 加法公式  

8 初等関数の大域的挙動

8.1 もう一度有理関数

8.2 指数増加はどんな多項式の増加より速い

8.3 対数増加はどんな冪よりも増加が遅い

9 微分ー実用的入門

9.1 微分

9.1.1 微分 -- 非公式の定義,     

     9.1.2 ある点における接線,    

     9.1.3 線形作用素,    

     9.1.4 微分は線形演算だ

9.2 微分計算の基本的規則

9.2.1 導関数と線形応答,

9.2.2 差分記号,

9.2.3 積の微分

9.2.4 連鎖律

9.3 逆関数の微分

9.4 対数微分

9.5 ニュートン法

9.6 高次微分

9.6.1 二階微分,

9.6.2 高階微分,

9.6.3 ライプニッツの規則

9.7 偏微分

「微分入門」これだけは

(1)  極限を使った微分の定義を記憶しておくこと。その直感的意味を説明できなくてはならない。微分可能であることと関数が連続であることとの差 を理解すること。

(2)  ある点での微分可能性をランダウの o を使って表現することになれること。特に、微分を例として微分記号と差分記号の使い方を理解すること。

(3) 関数のグラフが与えられたときその導関数をスケッチできなくてはいけない。

(4) 初等関数の導関数をちゃんと憶えておくこと。

(5) どんな実際的場面に導関数が現れるか、実例を挙げられること。

(6) 変化を記述するのに導関数を使うことになれること。

(7) 微分は線形演算である。導関数は線形応答を表現する。

(8)  微分の基本的計算規則を記憶しておくこと。ただし、微分記号を使ってそれらの規則がどうして成立するか説明できなくてはならない（たとえば、積法則が説明できなくてはならない）。

(9) 逆関数の微分ができること。逆三角関数、逆双曲関数の導関数を憶えておくと好都合なこともある。

(10) 対数微分は導関数のゼロを探すためにしばしば便利である。

(11) 二階微分可能な関数の局所形 が書き下せなくてはならない。

(12) 関数のグラフが与えられたときその二階微分をスケッチできなくてはならない。

(13) 数学的帰納法の論理を理解すること。

(14)  偏微分の定義を憶えておくこと。

[(15)  ニュートン法の原理を理解し、その使い方になれること。]

重要事項

微分, 微分記号, 接線, 次元, 作用素, 重ね合わせの原理, 線形応答, 積法則, 連鎖律, 対数微分, 高階微分,  凸性, ライプニッツの規則, 数学的帰納法, 偏微分, 偏導関数 [ニュートン法, 非線形微分方程式 (写像), 反復, 固定点]

速度, 加速度, 熱容量, 感受率,

10 曲線の追跡

10.1 極大と極小：極値

10.2. 微分可能な関数 f が極値を取れば、 f ' は消える

10.3 ロルの定理

10.4 平均値の定理

10.5 コーシーの平均値の定理とロピタール則

10.6 テーラーの公式

10.6.1 多項式と高階の導関数,

10.6.2 テーラーの公式

10.7 いたるところ f ' = 0 ならば f  は定数である。

10.8 いたるところ f ' ρ 0 ならば f  は単調増大である。

10.9  f '' > 0 なら f  は凸である。

10.10 変曲点

10.11 曲線の局所的二次近似

10.12 曲線の追跡

「曲線の追跡」これだけは

(1)  f ' = 0 の意味することを理解しよう。ロルの定理を幾何学的に明瞭に理解しよう。

(2)  平均値の定理を幾何学的に 理解しよう。

(3)  テーラーの公式を理解し、憶えること。 ex, sin x などのテーラー展開の結果は記憶するに値する。

(4) どこでも f ' ≥ 0 ということはが単調増大関数であることを意味する。

(5)  f " ≥ 0 は凸性を意味する。

(6)  f" = 0 の意味しうることを理解しよう。

(7) 一階および二階導関数で分かることをまとめるために局所二次近似式は役に立つ。その意味するところがわからなくてはならない。

(8) 一階および二階導関数を使って関数のグラフを半定量的に スケッチできなくてはならない。

重要事項

極値 (極大, 極小), ロルの定理, 平均値の定理, コーシーの平均値の定理, テーラーの公式, テーラー展開 (テーラー級数),  単調増大, 変曲点, 局所的二次近似,

11 収束

11.1 実数

11.1.1 有理数と無理数: まとめとあらすじ, 

11.1.2 実数,

11.1.3 実数は連続である

11.2 極限

11.2.1 収束の定義,

11.2.2 コーシー列,

11.2.3 極限の四則演算,

11.2.4 級数入門

11.2.5 e 再訪

11.2.6 e は無理数だ

11.2.7 πも無理数だ   not yet

11.3 実数の性質

11.3.1  実数 ≡ 十進小数,

11.3.2  実数の四則演算,

11.3.3 上限と下限,

11.3.4 上極限と下極限,

11.3.5  閉区間の縮小,

11.3.6 ( 実数の ) 連続性の公理,

11.3.7 ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理                

                    ( 区間について ),

11.3.8 ハイネ・ボレルの被覆定理

                    ( 区間について ),

11.3.9 コンパクト集合

「収束」これだけは

(1)  有理数と無理数の初歩を復習すること。有理数と無理数についてのたいていの普通の初等的な説明は不完全であることをはっきりと認識すること。

(2) デーデキントの実数論の少なくとも概要を理解すること。

(3)  収束の概念を理解すること。

(4) 有界な単調数列 の収束性を理解すること。

(5) コーシー列は収束数列と同値である。

(6) \[Sum]xn/n! = ex；この収束級数を説明でき ること、そして記憶すること。 

これくらいは

(7)  切断による実数の定義を理解すること。

(8) 実数の大小関係と四則演算は有理数についての大小関係と四則演算とつじつまが合うように定義されなくてはならない。このような概念の拡張のための論理を理解すること。

(9)  実数の切断をもとに実数の連続性の意味を理解すること。

(10) 実数と十進小数の同値性を説明できること。

(11) 有界集合 は上限と下限をもつことをはっきり認識すること。

(12) 入れ籠になった閉区間 は一点を共有する。

(13) 有界な無限個の点の集合は集積点を持つ = ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理: その論理を理解すること。

(14) 有界閉集合はコンパクトである。

重要事項

実数, 収束, 収束数列, 有界単調数列, コーシー数列, 級数,

[デーデキントの切断, 実数の切断, 上限, 下限, 入れ籠になった閉区間列, 集積点, ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理, ハイネ・ボレルの被覆定理, コンパクト集合, 連続性の公理 (デーデキントの公理, カントールの公理, ワイエルシュトラスの公理)] 

12 連続性

12.1 連続性

12.1.1 関数の極限,

12.1.2 関数列の収束,

12.1.3 関数の連続性,

12.1.4 連続性と一様収束

12.2 中間値の定理

12.3 最大値の定理

12.4 一様連続性

12.5 ワイエルシュトラスの近似定理

「連続性」これだけは

(1)  関数値の収束、関数列の収束などの定義を明確に理解し、記憶すること。

(2)  一様に収束する連続関数列は連続関数を与える。

(3)  中間値の定理の証明を理解すること。

(4) 最大値の定理の証明を理解すること。.

(5) 有限閉区間上の連続関数の値域は閉集合である。

重要事項

極限, 連続性, 左極限, コーシーの判定法, sequential continuity, 各点収束,  一様収束, 中間値の定理, 最大値の定理, 一様連続性

13 微分

13.1 微分

13.1.1  微分の定義,

13.1.2  左微分と右微分

13.2  初等的計算規則のまとめ

13.3 導関数についての諸定理 ( 再訪、しかし今度は厳密だ )

13.3.1  ロルの定理,

13.3.2  平均値の定理,

13.3.3  平均値の定理の応用,

13.3.4  コーシーの平均値の定理

13.4 テーラーの公式

13.4.1 高階微分再訪,

13.4.2 テーラーの公式再訪,

13.4.3 実解析関数

「微分」これだけは

(1)  傾きとしての導関数の幾何学的理解は微分についての完璧な理解とは言いがたい；微分操作は、実は、傾きを計算するよりはずっと微妙な操作である。

(2)  基本的計算規則を復習すること。練習を使って腕前を確かめてみること。

(3) 導関数に関する基本的定理（ロルの定理、平均値の定理）の証明に使われる論理を理解し記憶すること。

(4)  テーラーの公式の導き方を理解し、公式を記憶すること。

重要事項

導関数の定義, 左（右）導関数, テーラーの公式, 剰余項, 実解析関数,

14 常微分方程式入門

14.1 微分方程式とは何だろう

14.1.1  微分方程式

14.1.2  補助条件

14.2 簡単な微分方程式 I  一階方程式

14.2.1  答えをすでに知っている簡単な

                        微分方程式

14.2.2  簡単な応用

14.3 オイラー法 -- 数値的アプローチ

14.3.1  オイラーの基本的なアイデア

14.3.2  オイラー法の実例

14.3.3  簡単な微分方程式を解くのに Mathematica をどう使うか。

14.4 微分方程式を定性的に理解するには

        どうするか

14.5 簡単な微分方程式 II  二階方程式

14.5.1 調和振動子　

「常微分方程式入門」これだけは

(1) (常) 微分方程式とは何か。

(2)  なぜ補助条件が必要か理解すること（@も見ること）。

(3) 曲線のパラメタ族と微分方程式の関係を理解すること。

(4) 簡単な常微分方程式（ dx/dt = αx, dx/dt = αx + β, dx/dt = x/t）の一般解を理解し、結果を記憶すること。

(5) 解の一義性を証明する論法を理解すること。

(6) 化学反応のような簡単な代表的例をとおして簡単な常微分方程式の使い方に親しむこと。ロジスティック方程式をどうやって導くか理解すること。

(7) 解析的にすっきりした解が見つけられない時はどうするか？

(8) 常微分方程式を数値的に解くオイラー法の原理を理解すること。

(9) ベクトル場をつかって大体の解の挙動をどうやって推量するか理解すること。

(10) 二階常微分方程式の代表例として調和振動子を理解すること。その一般解を記憶すること。

(11) 相空間にどうやってベクトル場をスケッチするか、また相図を使って二階微分方程式をどのように定性的に調べるか理解すること。

重要事項

常微分方程式, 階数, 補助条件, 一般解と特殊解, 積分定数, ニュートン革命, 一義性, 放射性崩壊, 半減期, ロジスティック方程式, 定性的アプローチ,  オイラー法, ベクトル場, 方向場,  自励的方程式と非自励的方程式, 調和振動子, 減衰調和振動子, 相空間, 相図, ファン・デァ・ポル方程式,

15 積分 --- 基本

15.1 原始関数

15.2 積分

15.3 リーマン積分

15.4 符号を持った面積としてのリーマン積分

15.5 リーマン和と基本的積分

15.6 積分変数の変換

15.7 部分積分

15.8 どんな関数の原始関数が解析的に求める

            ことができるか?

15.8.1 憶えておくべき基本的事実

15.8.2 どのくらいの積分の腕前が必要か?

15.8.3 できそうに見えても解析的に

                積分できない関数

15.9  有理関数の積分

15.9.1 有理関数の部分分数展開

15.9.2 部分分数展開を利用した積分

15.10  sin とcos の有理関数の積分

15.10.1 sin とcos の多項式

15.10.2 sin とcos の有理関数

15.10.3 三角関数の置き換え

15.11  広義積分

15.11.1 有界でない積分域

15.11.2 特異な関数の積分

15.11.3 広義積分の一般的性質

「積分」これだけは

(1) 積分とは何か?   微分との関係を理解すること。 (まとめはここ)

(2) 積分は線形作用素として理解することができる。 

(3)  初等関数の不定積分の公式を理解し、それらを記憶すること。簡単な積分はすばやくできるように（腕前をチェックしたければここ と ここをやってみよう）。

(4) 不定積分を知っていれば定積分を計算することができる。しかし、注意を忘れないように。

(5)  リーマン積分の基本的アイデアを理解すること。

(6) リーマン積分を符号のついた面積として理解すること。 積分を幾何学的に理解すること（逆向きの積分、積分域の合体など）。たとえば、微積分学の基本定理を視覚化できなくてはいけない（まとめはここ）。

(7) |\int f (x) dx| ≤ \int|f (x)|dx を直感的に理解すること。

(8) 積分変数を取り替えることに困難を感じないように。

(9) 部分積分に慣れておくこと  (腕前チェックはここ)。

(10) 基本的にいって、積分を解析的に熟達した腕前で計算できなくていい。しかし、解析的にできる積分を（その理由とともに）明瞭に認識できなくてはいけない（ 有理関数、 三角関数の有理関数,   多項式 × 三角関数、 二次無理関数、指数関数、対数関数と多項式の 掛け合わされたもの ）。しかし、同時に、できそうに見えて実は解析的に 積分できない関数も憶えておくこと。

(11)  解析的に積分を計算する基本的テクニックを憶えておくのは有利であるが、もちろん、どうしてそのようなテクニックがうまくいくのか説明できなくてはいけない。

(12) 積分域が有界でないか、あるいは被積分関数が有界でないとき、積分は極限を適当に使って定義しなくてはならない。こうして得られる積分を広義積分という。

重要事項

原始関数, 積分すること, 積分, 定積分, 積分可能, 被積分関数, 微積分学の基本定理, 不定積分, 積分作用素 (ここも見ること ), 逆向きの積分, リーマン和, リーマン積分, 符号付の面積, 部分積分, 部分分数展開, 広義積分, ガンマ関数, ベータ関数,  

[ルベーグ積分]

16 ラプラス変換 --

                実用的入門

16.1 ラプラス変換入門

16.1.1 定義と初等的な例

16.1.2 基本的な一対一対応関係

16.1.3 基本的性質

16.2 ラプラス変換を使った

                定係数線形常微分方程式の解法

16.2.1 定係数線形常微分方程式

16.2.2 定係数線形常微分方程式: ラプラス変換

                を使った一般論

16.2.3 ラプラス逆変換はどう計算するか？

16.2.4 定係数線形常微分方程式 まとめ

16.2.5 常微分方程式のグリーン関数：

                プレビュー

16.3 実例

(1)  ラプラス変換の定義を憶えること。これは線形変換である。

(2) 微分は s を掛けることに相当するので、線形定係数常微分方程式は代数方程式に変換される。

(3) ラプラス変換は一対一変換であるので、ラプラス変換からもとの関数を復元できる。

(4) 通常のラプラス逆変換を行なうには表を使うことができる。

(5) とはいえ、 定数, 指数関数,  sin x, cos x, sinh x および cosh xのラプラス変換は記憶するに値する。

(6) また、いくつかの一般的計算規則、とくに 乗法的な指数因子, 時間のずらし, および たたみこみ についての規則は憶えておくべきである（たとえば、s をかけることは、あるいは x をかけることは何を意味するか、など）。

(7) 同次方程式の一般解 + 非同次方程式の一つの特別解 =  非同次方程式の一般解である。

(8) 定数係数二階微分方程式 はその特性根で完全に理解できる。 二階方程式が理解できれば、高階の方程式も同様に理解できることを認識すべきである。

(9) 緩和現象の一般的挙動を理解すること。

(10) 外力の作用している(減衰)調和振動子の過渡および定常挙動を理解すること（つまり、その一般的挙動が直感的にわかること）。

(11) 定数係数常微分方程式でモデル化できる現象の例をいくつかあげることができること。

[(12) グリーン関数 = 衝撃への応答を非同次方程式の特別解を作るのに利用できる 。

13. (13)デルタ関数 は超関数である。
    

重要事項

ラプラス変換, ラプラス逆変換, 同次方程式, 非同次方程式, 定数係数常微分方程式, 変数のスケーリング, たたみこみ, 特性多項式, 特性根,  線形常微分方程式の解の一般構造, 共鳴, 緩和, 緩和時間, 過渡現象,      

[グリーン関数, デルタ関数, 超関数, 撃力  ]

17 常微分方程式

17.1 常微分方程式の基本再訪

17.1.1 常微分方程式とは何か?

17.1.2 常微分方程式の解

17.1.3 常微分方程式の定性的理解

17.2 どうやって常微分方程式を導くか？

17.3 初等的な解析的解法

17.3.1 変数分離

17.3.2 同次方程式

17.3.3 完全微分方程式と積分因子

17.3.4 一階線形常微分方程式

17.3.5 特別な名前の付いた方程式

17.4 常微分方程式の基本的諸問題

17.4.1 何が基本的質問か?

17.4.2 存在

17.4.3 一義性

17.4.4 延長

17.4.5 適切性

17.5 線形常微分方程式

17.5.1 定係数線形常微分方程式

                の復習

17.5.2 一般の線形常微分方程式

「常微分方程式」これだけは

(1) n-階常微分方程式は n 変数の一階常微分方程式に書き直すことができる。

(2) 解の分類を復習すること。

(3) 常微分方程式の定性的な理解を復習すること。

(4) 簡単な常微分方程式を導けること。時間変化のメカニズムをわけて考えるのは実際的な微分方程式の立て方だ。

(5) 簡単な場合に変数分離法が使えないといけない。そのためには代表的な初等原始関数をよく知っていないといけない。微分を使った実用的な計算法に親しんでおくこと。

(6) 積分因子を理解すること。

(7) 一階線形微分方程式を解くことができること。 ; 定数変化法を憶えておくこと。

(8) 特別なトリックを使うと解析的に解けるいろいろと人の名前の付いた方程式がある。どうしてトリックが使えるのかという理由は分からないといけないが、これらの特殊な場合を憶えておく必要はほとんどない。 こういう方程式にであったときに真っ先にすることは好みの「スタイルブック」をめくることだ。

(9) 包絡線と特異解の関係を記憶すること 。

(10) 何が常微分方程式の基本的問題であるか？  これを答えることができて、なぜ それが基本的か説明できなくてはいけない。(解が一義的でない常微分方程式がある)

(11) リプシッツ条件を幾何学的に理解すること。

(12) リプシッツ条件の下では局所的な解の一義性を証明することができる(コーシーの一義存在条件)。 普通、局所的な解は極大時間範囲まで延長できる。こうして得られた大域的な解は初期条件に連続的に依存する（つまり、 適切である)。適切性は理解すべき概念である。

(13) もしも解の最大存在域が方程式の定義域内にあるときは解は定義域の境界にまで到達できる（が普通そこで爆発する)。

[(14) グロンウォールの不等式はたいへん有用だから憶える価値がある。]

(15)  行列で書かれた線形方程式の解の一般的構造を理解すること。

(16) 二階常微分方程式の一般理論を理解すること。

(17) 行列の指数関数によって定行列微分方程式の一般解を構成する方法を理解すること。行列の指数を計算する実際的な方法を少なくとも一回はやってみること。2×2のすべての場合を憶えておくのは都合がいいかも知れない。

(18) 相ポートレートから何が学べるか理解すること。

(19) 固定点の分類を理解すること。双曲性の概念は重要である。その前に いろいろな安定性の概念を理解することが大事だ。

(20) 線形安定性 ⇒ 漸近安定性 ⇒ 安定性。⇐は一般には正しくないことに注意。

(21) 一般の常微分方程式の固定点の安定性の解析ができること。構造安定性の重要性を理解すること。

(22) 固定点の安定性を調べるリャープノフの方法を直感的に理解すること。

(23) リミットサイクルの概念と関連した分岐現象を憶えて おくこと。

23. (23)カオスとは何であるかだいたいのことを理解すること。
    

重要事項

n-階常微分方程式, 正規形, 自励系と非自励系, 線形方程式と非線型方程式, 解（曲線）, 特解, 特異解, 一般解, ファンデァポル方程式, ベクトル場, 相ポートレート, リミットサイクル, 固定点とその安定性, ヴォルテラ方程式, 同次方程式, 完全微分形式, 積分因子, 定数変化法, 包絡線, 存在問題, 一義性問題, 延長問題, 適切性, ペアノの存在定理, リプシッツ条件, ピカールの近似法, コーシーの一義存在定理, 最大存在区間, グロンウォールの不等式, 爆発, 大域的延長可能性,  行列常微分方程式,  行列の指数関数, 解の基本集合, 時間発展作用素, ロンスキアン, exp(A), 沈み込み点（沈点）, 鞍点, 沸きだし点｛湧点）, 双曲固定点, 安定性, 漸近安定性, 線形安定性, 線形化方程式, 構造安定性, 安定および不安定集合, リャープノフ関数 (狭義の),  ω-極限集合, ポアンカレ-ベンディクソンの定理, ホップ分岐