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フーリエ変換応用の練習

課題 1.1.6 . T(0, x) = 10(1 − |2(x/L) − 1|) としてT(t, x) を上記の伝導体に

ついて求めてみよう．両端の温度は0◦C に(サーモスタットで) 固定されてい

るとする．

本文において実行した形式的な計算はすべて正当化できる．核心は，ここに出てきたフーリエ級数の収束がはやいことだ; 空間的にめまぐるしく変化する成分の寄与(大きなn からの寄与) が大きくないことが本質的である．物理的に考えるとこうなるのはもっともだろう．拡散方程式は温度などの分布がぼやけていく過程を記述する方程式なのだから，その解は初期の分布の中の細かい構造が時間がたつにつれてますます重要でなくなるはずであり，解はなめらかになるだろう(空間座標の関数として無限回微分可能どころか実解析的である)．すなわち，解であるようなフーリエ級数は速やかに収束するはずだ．

Fourier展開についての常識的なこと(とそれより少し高級なこと)がApplicable Analysisにまとめてある． AMI-17.pdf ．( 未完 )

全連続性とSturm-Liouville の関係

Sturm-Liouvilleの一般論についてはApplicable Analysisの AMII-35.pdf 参照．