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Riemann zeta についての洞察

何でここにゼータ関数の話が出てくるのか，ピンと来ない人もいるようなので多少補足をしておく．(これは課題なのだからこういうことをここで書くのは邪道なのだけれども．まだまだいろいろ深く調べることはできる．)

 記述の道具としてのモデルの核心は，経験事実を整理し，その「よい」見方やその論理的核心に迫る洞察を得たり，推測を論理的に強化できるような知見にまとめ上げることを助けることである．すでに説明した黒体放射の場合は見事にあう経験式が洞察の突破口になった．この場合はよくあう経験式にまとめ上げられたということは極めて重要であった(そのようなカーブフィッティングがモデル化と連続スペクトルをなすと書いた)が，そのものが洞察に直結していたわけではない．

 ゼータ関数の場合はゼロ点の分布に関係する経験式が精密に見いだされ，それを「説明する」モデルはゼータ関数のゼロ点が(この世を記述するある種の正確定)作用素の固有値として与えられるだろうというヒルベルトとポリヤによる推測(洞察？)を強力に支持する．つまり，カーブフィッティングとその贅肉が(まったく)ないモデルがヒルベルトとポリヤの洞察に支持を与える．これは，モデル化というよりもカーブフィッティングが洞察を与える(支持する)例そのものである．

The 10^22-nd zero of the Riemann zeta function , A. M. Odlyzko. Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions, M. van Frankenhuysen and M. L. Lapidus, eds., Amer. Math. Soc., Contemporary Math. series, no. 290, 2001, pp. 139-144　 ( http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.10to22.pdf )　 [Odlyzko氏は強力な研究者だからいろいろなことをやっている．引用すべきURLの的を絞った方が親切だったかもしれないが，他の仕事を見るというのも悪くない．著者が有機合成化学専攻だったころ，目的の論文の前後の論文にも目を通せと教わった．もちろん文字通り実行するのは物理や数学では不可能に近いが心がけとしては悪くない．]

それからの引用 : 

The main motivation is to obtain further insights into the Hilbert-Polya conjecture, which predicts that the RH (= Riemann hypothesis) is true because zeros of the zeta function correspond to eigenvalues of a positive operator. When this conjecture was formulated about 80 years ago, it was apparently no more than an inspired guess. Neither Hilbert nor Polya specified what operator or even what space would be involved in this correspondence. Today, however, that guess is increasingly regarded as wonderfully inspired, and many researchers feel that the most promising approach to proving the RH is through proving some form of the Hilbert-Polya conjecture. Their confidence is bolstered by several developments subsequent to Hilbert's and Polya's formulation of their conjecture. There are very suggestive analogies with Selberg zeta functions. There is also the extensive research stimulated by Hugh Montgomery's work on the pair-correlation conjecture for zeros of the zeta function [Mon]. Montgomery's results led to the conjecture that zeta zeros behave asymptotically like eigenvalues of large random matrices from the GUE (= Gaussian Unitary Ensemble) ensemble that has been studied extensively by mathematical physicists. This was the conjecture that motivated the computations of [Od1,Od3,Od4] as well as those described in this note. Although this conjecture is very speculative, the empirical evidence is overwhelmingly in its favor.

P. D. Lax, ``Mathematics and Physics,’’ Bull Am Math Soc 45, 135 (2008)にも多少の解説がある．ゼロ点の間隔の分布とゼロの分布の二体相関関数がランダム行列の結果と完璧に重なることが大きな図であげてある．

 ただし，上の観察が実際にRiemann zetaの裏にある正確定作用素を見抜く助けになるか，といわれると著者は極めて否定的な気分にならざるを得ない．それは．スペクトルというものがかなり普遍的だからである，少々作用素が変わってもスペクトルは変わらないという事がしばしばある．

 これについてごく最近の次の総説は興味深い: 

Circular Law Universality

T Tao and V VuFrom the Littlewood-Offord problem to the circular law: Universality of the spectrum distribution of random matrices

BAMS  46, 377 (2009)

*Wigner's famous semicircular law is quite universal: the distribution of elements need not be Gaussian; mean zero and variance 1 are only required.

*The non-Hermitian variant of this is the Circular Law Conjecture. The difficulty of non-Hermitian matrices is the presence of pseudospectrum. This article outlines the proof of the conjecture only obtained recently.

 そして， N. A. BAAS and C. F. SKAU, ``The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics,'' BAMS 45 , 617 (2008) を読むとSelbergは上のような考え方にはたいして関心がないように見える．

 昨年放送されたNHKのリーマン予想についての放送の(出だし)を見た [http://www.nhk.or.jp/special/onair/091115.html] ．ひどい．公開鍵暗号はリーマン予想のおかげで成り立っているようなことが正気で罷り通っている．アメリカのたとえばPBSにも数学についての(最近ではフェルマーの定理についての)番組がある．根本的違いに気がついた．

　アメリカの放送は数学的核心部分についての数学的アイデアや概念をまったく説明しないでそれらしい雰囲気だけを伝えることに何となく成功しているが，あからさまな間違いはない．数学的には無内容なのだ．他方，NHKのはあからさまな間違いにみちている(無内容ではない！)．これが彼我の違いの核心である．もっと内容に即してこきおろした気持ちのいい批判が柏野氏のプロッグにある( http://kashino.exblog.jp/9345489/ )．

 素数の‘平均的分布’に少し触れている(本論は別)統計物理学者に十二分に興味のある本として最近

J Beck, Inevitable Randomness in Discrete Mathematics (Am Math Soc, 2009; University Lecture Series)

Part IIまでしか目を通してないが充分推薦できる．関連した話題(Cramer modelなど)が次の総説にもわりと読みやすく解説されている:

K Soundararajan, Small gaps between prime numbers: The work of Goldston-Pintz-Yildirim, Bull Am Math Soc 44, 1 (2007).

「世界を変えるという思いあがり」

熱力学の発展の裏にもこれが見え隠れする．

山本義隆 『熱学思想の史的展開2』(ちくま学芸文庫2008-9) p185に次のようにある．

フランス革命では，自由・平等・博愛のイデオロギーとともに，あるいはそれを上まわって，

自然の支配と収奪による生産力増大の夢こそが知識人青年を捉えたのではないだろうか．革

命後におけるサン・シモンの産業主義というテクノクラートの夢の登場は必然であった．そ

してその夢の実現の鍵と思われたのが，ほかでもない，火力機関(蒸気機関) であった．