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ボーアとヴィトゲンシュタイン？

「一つの言葉が何を意味するのかということを，われわれは決して正確には知らない」とボーアは言ったという:ボーアの思想とヴィトゲンシュタインの(後期) 思想とには交渉はなかったのだろうか？この二人は言語につての鋭い洞察と批判的態度をともにしているが．

概念の曖昧さなしの記述も数学の重要な役割である．

脚注8  J. Hintikka, The Principles of Mathematics Revisited (Cambridge, UP, 1996) は，H. D. Ebbinghaus, J. Flum, and W. Thomas, Mathematical Logic (Springer, Undergraduate Texts in Mathematics, 1984) 程度の本を読んだあとでは，楽に一応の理解がえられるだろう．この本からの抜粋は books: mathematics and physics にある．本書の概念分析はHintikkaが彼の本のp9に強調する次のような思想に密接している:

More generally, much of the foundational work that has been done since Cauchy by working mathematicians consisted in expressing in first-order logical terms the precise contents of different mathematical concepts.

 In developing such ideas [like ϵ − δ, integral], mathematicians were not engaged in the discovery of new mathematical truths. They were engaged in analyzing different mathematical concepts in logical terms.

 I will call this function of logic (logical concepts) in expressing the content of mathematical propositions its descriptive function. If mathematical propostions were not expressed in terms of logical concepts, their inferential relationships would not be possible to handle by means of logic. 

 What I have called the descriptive function of logic can be put into service as a tool of

conceptual analysis. 

明晰さについて

現時点で「明晰に語りえない」ことが，本当に明晰に語りえないことなのか，それともわれわれの表現の努力が足りないだけなのか，という反省はいつも必要である．さらに，そもそも「明晰さ」の明晰な定義などありえないということを忘れるべきでない．これは「厳密さ」の厳密な定義が存在しない(M. Kline, Mathematics the loss of certainty (Oxford UP, 1980) p315) ことと軌を一にしている．

 「明晰さ」にはいろいろの程度がある．数理論理学のレベルの明晰さはふつうの数学のレベルのそれとは明らかに違う．前者では，言ってみれば，相当われわれと違う宇宙人にとっても(あるいは，人間-機械インターフェイスの遅れたコンピュータにとっても) 誤解の余地がないことをねらっているように見えるが，ふつうの数学では人間の間での「明晰な理解」がねらわれているだけだろう．しかし，その「人間」としては，社会的生きものとしての「全体としての人間」よりはずっと能力を限定した人間，実世界をあまり経験したこともないような人間，が想定されているように見える． Homo sapiens としての種の特徴の共有を積極的に利用するというふうにはなっていないだろう．諸子百家や，聖書などは，自然言語の特徴と分を知って，衒学的な論理をもてあそばないが，普遍的に訴える力がある理由は，読み手が作者たちとこの宇宙を共有するからであり，ともに地球上の生き物であるからである．読者の共有する背景に意識的に訴える言語の使用が「詩」(より広く，文学)と呼ばれるのだろう．結局，自覚的に言語を使うということは(本書中にも書いてあるように) ‘数学か詩か’ということなのだ．

 言葉を大切にする人は言葉が極めて不完全な道具であることがよくわかっているはずである．

Dyson on Fermi

I learned more from Fermi in 20 minutes than I learned from Oppenheimer in 20 years.  In 1952 I thought I had a good theory of strong interactions. I had organized an army of Cornell students and postdocs to do calculations of meson-proton scattering with the new theory. Our calculations agree pretty well with the cross-sections that Fermi was then measuring with the Chicago cyclotron. So I proudly traveled from Ithaca to Chicago to show him our results. Fermi was polite and friendly but was not impressed. He said,

“There are two ways to do calculations. The first way, which I prefer, is to have a clear physical picture. The second is to have a rigorous mathematical formalism. You have neither.” That was the end of our conversation and of our theory. [Freeman Dyson, “A Conservative Revolutionary,” Talk at the banquet of the C N Yang retirement symposium, May 21-2, 1999, Mod Phys Lett A 14, 1455 (1999).]